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Algunas conjeturas para números primos

• La conjetura de los primos gemelos: Diremos que dos números primos p y q son gemelos si q=p+2. Por ejemplo 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 29 y 31, etc. . La conjetura dice que existen infinitos primos gemelos.

• La conjetura de Goldbach (mencionada por primera vez en una carta de C Goldbach a Euler en 1742): Cualquier número par más grande que 2 es suma de dos números primos. Algunos ejemplos:

4=2+2	6=3+3	8=5+3
10=7+3	12=7+5	14=11+3
16=13+3	18=13+5	20=17+3

Esta conjetura ha sido verificada hasta 100000000000000, pero aun no se ha encontrado
un argumento matemático que demuestre que es cierta para todo número par. De hecho
existen resultados ya muy "cercanos" a la conjetura:
• Se sabe que cualquier número par es suma de 6 o menos números primos(Ramaré, 1995).
• Se sabe también, demostrado por Chen en 1966, que cualquier número par "suficientemente grande" es suma de un numero primo más el producto de dos números primos. El problema es que no esta claro que es lo que se quiere decir con suficientemente grande....
• Observase que si la conjetura de Goldbach es cierta, entonces cualquier numero impar mayor que 5 ha de ser suma de 3 o menos números primos, llamada la conjetura de Goldbach impar. Vinogradov probó en 1937 que si n es un número impar suficientemente grande, entonces n es suma de tres números primos. Se deduce de esto que cualquier número par suficientemente grande es suma de 4 números primos o menos. Se ha visto que este "suficientemente grande" puede tomarse 10⁴³⁰⁰⁰(aun demasiado grande para poder comprobarlo por ordenador).
• También se sabe que si la Hipótesis de Riemann es cierta, entonces la conjetura de Goldbach impar implica la conjetura de Goldbach (par). De hecho, también se ha visto (Deshouillers, Effinger, Te Riele y Zinoviev en 1997) que si la Hipótesis de Riemann generalizada es cierta, entonces la conjetura de Goldbach también es cierta. Así que, ánimo y a probar la Hipótesis de Riemann!

 
• ¿Existen infinitos primos de la forma n +1?

Dirichlet probó que en cualquier progresión aritmética, o sea de la forma
{a + bn | nN},  con  a, b coprimos entre si, existen infinitos números primos.
Posteriormente Chevotarev demostró que, fijado b, y si denominamos
fi(b):=#{a | 0<a<b y a primo con b}
tenemos que, para cada a, el número de primos de la forma a+bn es 1/fi(b) el
número de primos totales. Por ejemplo, el numero de primos que en forma decimal
acaban en 1 (o en 3, o en 7, o en 9) es un 25% de los totales. Vease por ejemplo el
calculo hecho aquí.

• ¿Existe siempre un número primo entre n  y (n + 1)  ?

 Se sabe que siempre hay un primo entre n y 2n, la llamada conjetura de Bertrand, que fue probada por Chebichev.
 
• ¿Hay infinitos primos de Fermat? Aun más, ¿hay algún primo de Fermat además de los cuatro primeros?

Un primo de Fermat es un número primo de la forma 2+1. Es posible ver de forma relativamente fácil que si 2+1 es primo, entonces n es también una potencia de 2. Tenemos que
 

n=1	n=2	n=4	n=8	n=16	n=32
3	5	17	257	65537	641*6700417

(para n=32 es producto de dos primos). La pregunta es si encontraremos algún otro primo según vayamos tomando potencias de 2.

 
• ¿Hay infinitos primos de Mersenne?

Un primo de Mersenne es un primo de la forma 2-1. Es posible ver fácilmente que si 2-1 es primo, entonces n también tiene que ser un número primo. Denotaremos por M(i) el i-ésimo número de Mersenne. Los primeros números de Mersenne son
 
 

n=2	n=3	n=5	n=7	n=13	n=17
M(1)=3	7	31	127	8191	M(6)=131071

El número de Mersenne más grande que se conoce es M(38)=2^6.972.593-1 (1 de Julio de 1999). En esta página web se puede leer toda la información sobre números de Mersenne que hay, y incluso bajarse un programa para buscar más números de Mersenne.
 
 

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