Fracciones continuas

Las fracciones continuas tratan de dar una expresión a los números reales más conveniente para estudiar sus propiedades aritméticas que la expresión en decimales.

Empezaremos por un ejemplo concreto para un número racional concreto.

Tomemos 127/52=2,442307692308. Su parte entera es 2, y podemos escribir

127				23
	=	2	+
52				52

Cambiamos luego 23/52 por la fracción equivalente 1/(52/23) y repetimos el proceso para la fracción 52/23. Obtenemos:

52				6
	=	2	+
23				23

de donde, substituyendo en la primera igualdad, tenemos
 

127				1
	=	2	+
52						6
				2	+
						23

Podemos ahora seguir este proceso para 6/23 , cambiandola por 1/(26/6)
 

26				5
	=	3	+
6				6

y el mismo proceso para 5/6 para obtener
 

6				1
	=	1	+
5				5

Aquí el proceso se para. Obtenemos finalmente

127				1
	=	2	+
52						1
				2	+
									1
						3	+
										1
								1	+
										5

La expresión obtenida se llama la fracción continua de 127/52. Usaremos la siguiente notación para escribir esta fracción continua:

127
	=	[2,2,3,1,5]
52

Observemos que este proceso se puede hacer para cualquier número racional, y ademas siempre se acaba tras un número finito de pasos. La razón fundamental para este hecho reside en el llamado algoritmo de Euclides (que sirve a la vez para calcular el máximo común diviso de un número).

Supongamos tenemos una fracción del tipo a/b, con a y b números enteros positivos. Designamos por q₁ el cociente entero de a/b, o sea la parte entera de este cociente. Entonces tenemos que
 

a=q1·b+r2,  con r2<b

Tomemos ahora la división de b por r₂, y sea q₂ el cociente entero y r₃ el resto. Tenemos

b=q2·r2+r3,  con r3<r2

Y de la misma forma vamos obteniendo

r2=q3·r3+r4,  con r4<r3

r3=q4·r4+r5,  con r5<r4

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Los restos de las divisiones obtenidos cumplen que

b>r2>r3>r4>. . . . .>=0

con lo que para alguna n debemos tenemos que r_n+1=0. De las igualdades anteriores obtenemos que

a
	=	[q1,q2,q3,. . .,qn]
b

La expresión obtenida después de suprimir de una fracción continua todos sus términos a partir de k se llama la fracción k-ésima reducida D_k. Así las fracciones reducidas para 127/52 son: D₁=2,  D₂=2+(1/2)=5/2,  D₃=17/7,  D₄=22/9,  D₅=127/52. Observase que x=9 y y=-22 (números que aparecen en la expresión de D₄) son una solución de la ecuación

127x+52y+1=0

Este hecho no es un coincidencia. Tenemos que si tomamos la ultima fracción reducida D_n-1 de a/b y la expresamos como P/Q, entonces x=Q y y=-P son siempre una solución entera de
la ecuación

a·x+b·y=(-1)n

Vease aquí para aprender a resolver ecuaciones del tipo a·x+b·y=c en los números enteros.
En particular podemos ver que estas ecuaciones o bien no tienen solución o bien tienen infinitas.

Nos podemos preguntar ahora: que sucede con los números reales que no son racionales?
Para verlo estudiaremos el caso de la raíz cuadrada de 2:

Empezaremos por la siguiente observación: (Ö2-1)(Ö2+1)=1, y 1 es la parte entera de raíz de 2!
Podemos por lo tanto hacer lo siguiente:

		1
Ö2-1	=
		2+(Ö2-1)

Repitiendo este proceso obtenemos que
 

				1
Ö2	=	1	+
						1
				2	+
						2+(Ö2-1)

con lo cual tenemos que

Ö2=[1,2,2,2, . . . ]

repitiendose indefinidamente el 2.
Vemos así que a diferencia del caso de los números racionales, la fracción continua asociada a un número real no racional (o sea un número irracional) es siempre infinita (por qué?). Por cierto que esto nos demuestra que Ö2 es un número irracional.

¿Cuándo cumple la fracción continua asociada a un número real r que se repite indefinidamente (o sea que es periódica)? Pues esto es lo que nos responde el siguiente

Teorema: La fracción continua asociada a r es periódica si y sólo si r es solución de una ecuación de segundo grado (que usualmente se les llama cuadráticos).

La demostración de este teorema es un poco larga y engorrosa, así que la dejaremos para otro dia. En todo caso diremos que la parte más fácil es demostrar que si es periódica, entonces es solución de una equación de segundo grado. La otra parte, que en cierta forma consiste en dar un método para encontrar la fracción continua de una raiz cuadrada es mucho más difícil.

Si quieres ejemplos concretos de la fracción continua de un número r cuadrático puedes ir  aquí. Si al contrario quieres el número cuadrático asociado a una fracción continua periodica concreta puedes ir aquí.

Por último mencionaremos que el estudio de las fracciones continuas es una pieza clave para la resolución de las llamadas ecuaciones de Pell(-Fermat): si d un número natural, se trata de encontrar todas las soluciones con X e Y naturales de la equación:
 

X2  - d Y2 = 1

Vease por ejemplo aquí  un programa online que da las soluciones "minimales" dado un d concreto. Observese que si d es un cuadrado entonces la ecuación no tiene ninguna solución (salvo X=1, Y=0).

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