Que números son resta de un cuadrado

menos un cubo?


Ya comentamos en una sección anterior que para en los enteros una ecuación "cuadrática" en los números enteros, o sea encontrar todas las soluciones (X,Y) con X e Y números enteros
de la ecuación:

aX+bXY+cY+dX+eY+f=0
se utilizaban las fracciones continuas. Este problema esta extensamente tratado en muchas partes. Por ejemplo, una pagina web muy interesante donde enseña a resolver estas ecuaciones es:
Métodos para resolver Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0.
de Darío Alpern. Además tiene un programa online que da todas las soluciones en:
Resolución de ecuaciones cuadráticas de dos variables enteras.

Esta vez hablaremos de un problema mucho más difícil y aun no resuelto completamente.
La pregunta que nos proponemos al principio es la siguiente: Dado k un número entero, cuantas (y cuales son) parejas de números enteros X e Y verifican que

Y-X=k  ?
A esta ecuación se la llama a veces la ecuación de Bachet (1621), aunque fue Fermat el primero que estudió algunos casos particulares. También se la llama la ecuación de Mordell ya que fue L.J. Mordell quien la estudio en más detalle (en su tesis). Aunque parece un problema del mismo nivel que el anterior (o quizá más fácil!), la verdad es la opuesta. Vamos a ver algún ejemplo, estudiando los primeros casos que aparecieron históricamente:

Fermat (1650):

Fermat puso como problema a la comunidad matemática inglesa probar que las únicas soluciones de la ecuación

Y = X - 2
son  X=3 e Y=5,  y X=3 e Y=-5. Esta es la ecuación de Bachet-Mordell para k=-2.

Observase que, si (X,Y) es solución de la ecuación de Bachet-Mordell, entonces (X,-Y) también lo es. A partir de ahora solo contaremos las soluciones con Y positivo.

Nadie en ese momento supo explicar por que, hasta que Euler en 1738 dio una demostración de ese hecho, pero era incompleta, ya que se basaba en un hecho que no se probó hasta 150 años después!

Euler (1738):

Euler uso el método del descenso inventado por Fermat para demostrar que las únicas soluciones de

Y = X + 1
son las "obvias": (-1,0), (0,1) y (2,3).

Lebesque (1869):

Usando que si una ecuación con coeficientes enteros tiene solución entonces la tiene módulo
p para todos los primos p, Lebesque consiguió demostrar que la ecuación

Y = X + 7
no tiene ninguna solución entera.

Nagell (1930)

T.Nagell demostró que la ecuación

Y = X + 17
tiene exactamente 8 soluciones con la Y positiva. Las soluciones son :
(-2, 3) , (-1, 4) , (2, 5) , (4, 9) , (8, 23) , (43, 282) , (52, 375) , (5234, 378661) .
 

Podemos ver que en cada uno de los casos el número de soluciones es finito. Esta observación es de hecho un teorema muy profundo (y difícil de demostrar!) de Thue

Teorema (Thue 1917) Dado k, solo existen un número finito de soluciones enteras de la ecuación de Bachet Y = X + k.

El problema con este teorema es que no nos responde las preguntas:

Existe alguna "formula" que nos diga, dado k, cuantas soluciones tiene la ecuación?
Existe algún método para encontrarlas todas?
Baker, en 1966, dio un criterio que nos permite en principio encontrar todas las soluciones:
 Si (x,y) es una solución de la ecuación Y = X + k entonces
|x| < exp(1010|k|)10000
Podemos así en teoría, dado k, ir probando todos los x's que verifican la desigualdad y así
encontraremos todas la soluciones. Pero la verdad es que este método no es muy práctico, además de que la cota no es demasiado buena (como mínimo para k pequeños). Por ejemplo, se sabe que para todos los k desde 1 hasta 100 tenemos que |x|<10000. El caso mayor es para k=24 que tenemos la solución (8158, 736844) (y 3 soluciones más pequeñas!).

Para valores de k entre 1 y 100 se saben cuales son todas las soluciones (resuelto definitivamente por O. Hemer, "Notes on the Diophantine equation y - k=x ", Arkiv för Matematik, volumen 3, paginas 67-77 (1954)). También se conocen para todos los valores de k entre -100 y -1 (véase el articulo de W. J. Ellison, F. Ellison, J. Pesek, C. E. Stahl y D. S. Stall, "The Diophantine equation y - k=x", en J. Number Theory, vol 4 (1972), paginas 107-117.).

Ahora ya podemos responder la pregunta del título de la página para valores de k pequeños:

los números naturales menores que 100 que no son resta de un cuadrado menos un cubo son exactamente:  k=6, 7, 11, 13, 14, 20, 21, 23, 29, 32, 34, 39, 42, 45, 46, 47, 51, 53, 58, 59, 60, 61, 62, 66, 67, 69, 70, 74, 75, 77, 78, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 93, 95, 96.


Finalmente, puedo decir que usando las técnicas introducidas por Mordell uno se reduce a resolver unas ciertas ecuaciones, llamadas de Thue, y que para estas ecuaciones se tiene un método que permite resolverlas en un número no muy largo de pasos (si k no es muy grande).
Véase por ejemplo el articulo de J. Gebel,  A. Pethö, y H. Zimmer, "On Mordell's equation",
en Compositio Math. vol. 110 (1998), no. 3, paginas 335-367.
 

Un libro donde se hace un recuento de todo lo que se sabia hasta 1969 es el de L.J. Mordell, Diophantine equations, Academic Press 1969. En castellano se puede consultar el libro de Alan Baker "Breve introducción a la teoría de números" publicado por Alianza Universidad.
 
 
 

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