Si a,b,c y d son enteros mayores que uno
y
ab=cd+1
entonces a=3, b=2, c=2 y d=3.
La conjetura de Catalan cuando a y c solo toman los
valores 2 y 3
Demostración de Levi
ben Gershom, también conocido como Gersonides (1288-1344), en
1342.
Fijamos base a=2 y c=3. Así nos preguntamos
cuales son los números enteros x e y tales que
2x=3y+1
Consideremos la ecuación modulo 8. Entones tenemos
que
2x= 2 (mod 8) si x=1
2x= 4 (mod 8) si x=2
2x= 0 (mod 8) si x>2
y que
3y= 3 (mod 8) si y es impar.
3y= 1 (mod 8) si y es par.
Por lo tanto tenemos que
{
4 si y es impar
2x=3y+1=
2 si y es par
con lo cual solo podemos tener solución si x=1
y si x=2. Así obtenemos las soluciones
x=1, y=0, y x=2, y=1.
Ahora fijamos la base a=3 y c=2. Se trata así
de resolver la ecuación
2x=3y-1
Como antes obtenemos que
{
2 si y es impar
2x=3y-1=
0 si y es par
Así, para y impar solo hay la solución
x=1, y por lo tanto y=1.
Pero para y par no podemos usar este argumento. Lo que
haremos es lo siguiente:
como x es par podemos escribir y=2k para cierto entero
k. Entonces tenemos
2x=32k-1=(3k-1)(3k+1)
Aha! Cada uno de los factores tiene que ser una potencia
de 2! Por lo tanto
2r=3k+1
para cierta r. Pero esta ecuación ya la hemos
resuelto antes y solo tiene solución para k=0 y 1,
o sea que la ecuación original solo puede tener
solución para y=0 y y=2. Pero para x=0 no tiene solución
así que la única solución es x=3 y y=2:
23=32-1.
La conjetura de Catalan cuando b y d solo toman los
valores 2 y 3
Dicho de otro modo: se trata de demostrar que
si la diferencia entre un cuadrado y un cubo es igual a 1 o a -1, entonces
estos números son 9 y 8.
Parece ser que el primero que conjeturo este resultado
fue P. Fermat. En 1738, L. Euler demostró este resultado basandose
en el método del descenso inventado por Fermat.
Eugène Charles Catalan (1844)
En 1844, el matemático belga E.C.
Catalan conjeturó la conjetura que ahora conocemos por su nombre:
las únicas potencias consecutivas son el 8 y el 9. Catalan publicó
sobretodo resultados sobre fracciones continuas
y en teoría de números algebraica.
Por lo que yo se, Catalan solo demostró el caso particular
de la ecuación en que b=c y d=a, o sea la ecuación
xy-yx=1
Vamos a ver que la única solución en enteros positivos
de esta ecuación es x=3 y y=2.
Consideremos primero el caso x=1; la ecuación se
convierte en 1-y=1, cuya única solución es y=0.
Si x=2, tenemos la ecuación 2y-y2=1.
Observemos, gracias a la formula del binomio de Newton,
si y>3. Substituyendo en la ecuación obtenemos que
1=2y-y2
> 2+y+y2-y2=2+y > 2
Así tenemos que la única posibilidad es y=3.
Vamos a ver ahora que si xy-yx=1
y x>=3, entonces y>x. En efecto, veamos que xy-yx>0
solo si y>x. O sea que xy>yx
si y>x. Tomando logaritmos a ambos lados de la desigualdad, obtenemos que
y·ln(x)>x·ln(y) y por lo tanto que y/ln(y)>x/ln(x). Si
consideramos la función f(x)= x/ln(x), tenemos que la función
es creciente si x>e (e
denota el número e, base de los logaritmos neperianos). Para demostrarlo,
tomemos su derivada
f'(x)=(1/ln(x))·(1-1/ln(x));
es mayor que cero siempre que 1-1/ln(x)>0, o sea si ln(x)>1,
y por lo tanto si x>e. Dado que la función
es creciente, si y>x>e tenemos que xy-yx>0.
Finalmente vamos a demostrar que si x>=3, entonces xy>yx+1.
Dado que y>x, entonces y-x>=1. Llamaremos z=y-x. Tenemos las siguientes
igualdades:
xy
=
xy-x
=
xz
=
xz
yx
(y/x)x
(1+z/x)x
((1+z/x)x/z)z
Vamos a usar ahora un resultado que dejamos como ejercicio de análisis
para el lector: si t es cualquier numero real mayor que uno, tenemos que
(1+1/t)t<e
Usaremos este resultado para t=x/z en la igualdad
anterior. Obtenemos así que
En 1976, Tijdeman demostró, basandose
en resultado previos de Baker, un teorema que convertia la canjetura de Catalan
en un problema casi resuelto:
Teorema:
Existe un número C (efectivamente computable)
tal que si x, y, m, n son números naturales cumpliendo que xm-yn=1, entonces
xm, yn < C.
Este resultado implica claramente que el número
de soluciones (a,b,c,d) de la ecuación de Catalan es finito.
Además, calculando la constante C y sustituyendo
todos los posibles a,b,c y d, deberíamos poder ver si realmente hay
alguna otra solución. El problema es que hasta ahora el mejor resultado
que se tiene sobre la constante que aparece en el teorema es demasiado
grande.
Por ejemplo, se sabe que si m y n son números
primos (claramente nos podemos reducir
a este caso), digamos p y q, y si x e y son solución
de la ecuación xp-yq=1, entonces
En Abril del año 2002, el matemático
de origen rumanés Preda Mihailescu anunció que tenía una demostración de la
conjetura de Catalan. Aunque el artículo aun no ha sido publicado,
parece que de momento los expertos consideran que la demostración
es válida. Esta se basa en el resultado de Tijdeman junto con acotaciones
un poco más buenas de este resultado.
El resultado mas fuerte previo a este resultado era también de Mihailescu,
del año 2000, cuando probó que si existía una solución
de la ecuación de Catalan, entonces los exponentes tenían
que ser primos dobles de Wieferich, o sea primos p y q tales que p(q
– 1) es congruente con 1 módulo q2, y q(p – 1) es congruente con
1 módulo p2.
En este articulo demuestra que también para estos primos el resultado
es cierto. Además, usa la teoría de Iwasawa, que ha demostrado
su potencia en algunos de los resultados mas fuertes obtenidos últimamente
en la teoría de números algebraica.
