Relaciones

3.4 Relaciones.

3.4.1 Definición. Una relación es un conjunto de parejas ordenadas.
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, R es una relación de A en B sí y sólo sí R es subconjunto de A x B.
Si R Ì A x A se dice que R es una relación de A en A o simplemente una relación en A.
0 y A x B son relaciones de A en B, puesto que 0 Ì A x B y A x B Ì A x B.

Si (x,y) Î R se escribe x R y y se lee "x está en relación con y".

Ejemplo 1:

Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}.

R₁ = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B.

R₂ = {(3, 8)} es una relación de A en B.

R₃ = {(x, y) / x Î A Ù y Î B Ù x > y} = {(3, 2),(5, 2),(5, 4)}.

R₄ = {(x, y) / x Î A Ù y Î B Ù x + y £ 7}

= {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (5, 2)}.

R₅ = {(1, 5), (3, 3)} es una relación de A en A.

R₆ = {(2, 3), (6, 1)} es una relación de B en A.

R₇ = {(3, 6), (1, 4),(5 ,8), (2, 1)} no es una relación de A en B y tampoco de B en A.

R₈ = {(x, y) / x Î A , y Î B, x - y = 0} = 0.

3.4.2 Dominio de una Relación.

Definición. Sea R una relación. Se llama Dominio de R y se denota por D(R) al conjunto formado por todas las primeras componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:

D(R) = { x / ($ y) (x, y) Î R}

En consecuencia,

x Î D(R) Û ($ y)((x, y) Î R).

x Ï D(R) Û (" y)((x, y) Ï R).

3.4.3 Rango de una Relación.

Definición. Sea R una relación. Se llama Rango de R y se denota por g(R) al conjunto formado por todas las segundas componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:

g (R) = { y / ($ x) (x, y) Î R}

En consecuencia,

y Î g (R) Û ($ x)((x, y) Î R).

y Ï g (R) Û (" x)((x, y) Ï R).

Ejemplo 2. En las relaciones del ejemplo 1 se tiene:

D(R₁) = {3, 1, 5} g (R₁) = {2, 8, 4}

D(R₂) = {3} g (R₂) = {8}

D(R₃) = {3, 5} g (R₃) = {2, 4}

D(R₄) = {3, 1, 5} g (R₄) = {2, 4, 6}

D(R₅) = {3, 1} g (R₅) = {5, 3}

D(R₆) = {2, 6} g (R₆) = {3, 1}.

Ejemplo 3. Sea S = {(x, y) / x Î RÙy Î RÙy < x}.

El siguiente gráfico es un representación cartesiana de S. La recta y = x no hace parte de S.

Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}. Sea R la relación:

"x es menor que y"

Entonces, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}.

D(R) = {1, 2}, g (R) = { 2, 3}.

3.4.4 Teorema. Sea R una relación, A y B dos conjuntos. R es una relación de A en B sí y sólo sí D(R) Ì A y g (R) Ì B.

3.4.5 Relación inversa. Definición. Sea R una relación. Entonces la relación {(y, x) / (x, y) Î R} se denomina relación inversa y se denota R^-1. En consecuencia,

(y, x) Î R^-¹ Û (x, y) Î R.

(y, x) Ï R^-¹ Û (x, y) Ï R.

Si R es una relación de A en B, entonces R^-¹ es una relación de B en A.

3.4.6 Relación Idéntica.

Definición. Sea A un conjunto. La relación dada por: {(x, y) / x Î A Ù y = x} se denomina relación idéntica en A y se designa I_A:

En consecuencia:

(x, y) Î I_A Û x Î A Ù y = x.

(x, y) Ï I_A Û x Ï A Ú y ¹ x.

Ejemplo 7.

I_R es la relación idéntica en los reales, es decir el conjunto de todos los pares ordenados de números reales que tienen ordenada y abscisa iguales. Su gráfica es la recta bisectriz del primero al tercer cuadrante.

3.4.7 Relación reflexiva en un conjunto.

3.4.7.1 Definición. R es una relación reflexiva en un conjunto A sí y sólo sí R es una relación en A y todo elemento de A está relacionado con sigo mismo. Es decir R es reflexiva en A si y sólo sí,

R Ì A x A Ù (" x Î A) ((x, x) Î R).

R no es reflexiva en A si y sólo si,

R Ë A x B Ú ($ x Î A) ((x, x) Ï R).

Ejemplo 8.

Sea A = {1, 3, 5}.

R₁ = {(1, 3), (3, 5), (1, 1), (5, 1), (5, 5), (3, 1), (3, 3)} es reflexiva en A.

R₂ = {(1, 1), (5, 3), (5, 5), (3, 1)} no es reflexiva en A.

Ejemplo 9.

I_A es reflexiva en A cualquiera sea A ¹ 0.

Ejemplo 10.

A² es reflexiva en A cualquiera sea A ¹ 0.

3.4.7.2 Teorema. R es reflexiva en A sí y sólo sí I_A Ì R.

3.4.8 Relación simétrica en un conjunto.

3.4.8.1 Definición. R es una relación simétrica en A sí y sólo sí R es relación en A y cualesquiera sean los elementos x,y de A se verifica que si x R y entonces y R x. En consecuencia:

R es simétrica en A Û R Ì A x A Ù (" x)(" y) ( x R y Þ y R x).

R no es simétrica en A Û R Ë A x A Ú ($ x)($ y) (x R y Ù y

x).

Ejemplo 11.

Las relaciones I_A y A² son simétricas en A cualquiera sea A.

Ejemplo 12

Sea A = {3, 4, 2} entonces:

R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)} es simétrica en A.

S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)} no es simétrica en A.

Ejemplo 13.

La relación T = {(x, y) / x Î N, y Î NÙx | y} donde la expresión "x| y" significa x divide a y no es simétrica en N puesto que si x| y no necesariamente y| x.

3.4.8.2 Teorema. R es simétrica en A sí y sólo sí R = R^-1.

3.4.9 Relación antisimétrica en un conjunto.

3.4.9.1 Definición. R es una relación antisimétrica en A sí y sólo sí R es una relación en A y cualesquiera que sean x,y de A se verifica que:

Sí x R y Ù y R x entonces x = y.

En consecuencia:

R es antisimétrica en A equivale a decir:

R Ì A x A Ù (" x)(" y) ( x R y Ù y R x Þ x = y)

R no es antisimétrica en A equivale a decir:

R Ë A x A Ú ($ x)($ y) ( x R y Ù y R x Ù x ¹ y)

Ejemplo 14.

I_A es antisimétrica en A.

Ejemplo 15.

Sea A = {2, 4, 6} entonces:

R = {(2, 2), (4, 4)} es antisimétrica en A.

S = {(2, 4)} es antisimétrica en A.

T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)} no es antisimétrica en A

Ejemplo 16.

La relación T = {(x, y) / x Î N, y Î N Ù x|y} es antisimétrica en N, puesto que x|y Ù y|x implica x = y.

3.4.9.2 Teorema. R es antisimétrica en A Û R · R^-1 Ì I_A.

3.4.10 Relación transitiva. R es una relación transitiva en A sí y sólo sí R es una relación en A y cualquiera sean x, y, z pertenecientes a A se verifica que:

Sí x R y Ù y R z, entonces x R z.

En consecuencia:

R es transitiva en A equivale a decir:

R Ì A x A Ù (" x)(" y)(" z) ( x R y Ù y R z Þ x R z)

R no es transitiva en A equivale a decir:

R Ë A x A Ú ($ x)( $ y)($ z) ( x R y Ù y R z Ù x

z).

Ejemplo 17.

I_A es transitiva en A.

Ejemplo 18.

Sea = {2, 4, 6, 3} entonces:

R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} es transitiva en A.

S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)} no es transitiva en A.

Ejemplo 19.

La relación T = {(x, y) / x Î N, y Î N Ù x |y} es transitiva en N.

Ejercicios 3.4

1) Sea A = {1, 2, 3} .

Señalar que tipos de relaciones corresponde cada una de las siguientes relaciones en A:

R₁ = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}.

R₂ = {(1, 1)}.

R₃ = {(1, 2)}.

R₄ = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}.

- Dar una relación en A que no sea simétrica ni antisimétrica.

2) Sea A = {2, 3, 4, 5, 6} y R = {(x, y) / x Î A, y Î A, ï x - yï es divisible por 3}. Escribir por extensión a R.

3) En un mismo diagrama, representar las siguientes relaciones y determinar su intersección.

R₁ = {(x, y) / x Î N, y = 2x + 1 }.

R₂ = {(x, y) / x Î N, y = 3x - 3 }.

4) Sean R₁ = {(x, y) / x Î R Ù y Î RÙy ³ x²}.

R₂ = {(x, y) / x Î R Ù y Î R Ù y £ x + 2}.

Representar gráficamente la relación R₁ R₂ (rayando la región correspondiente).

Halle el dominio y el rango de R₁ R₂.

5) Hallar las inversas de las siguientes relaciones:

R = {(x, y) / x Î R Ù y Î RÙy = x²}.

S = {(x, y) / x Î R Ù y Î R Ù y = 2x}.

Hacer un diagrama en un mismo plano cartesiano para R y R^-1. Hacer la mismo para S y S^-1.

6) Se da el subconjunto G = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)} del conjunto Ax A, siendo A = {x / x Î N Ù x es un dígito}. Expresar G por comprensión.

7) Señalar a que tipos corresponde cada una de las siguientes relaciones:

R₁ = {(x, y) / x Î NÙy Î NÙx £ y}.

R₂ = {(x,y) / x Î NÙy Î NÙxï y }.

R₃ = {(x, y) / x Î NÙy Î N , x es primo relativo con y}.

R₄ = {(A_i, A_j) / A_i Î P(A) Ù A_j Î P(A), A_i A_j = 0}.

8) Demostrar que si x e y son elementos de un conjunto A y R = {(x, y)} entonces R es antisimétrica en A.

9) Demostrar que si R es una relación de A en B y S Ì R, entonces S también es relación de A en B y además D(S) Ì D(R) y g (S) Ì g (R).

10) Demostrar que si R es una relación transitiva en A, entonces R^-1 también lo es.

11) Si R y S son relaciones, demostrar:

(R + S)^-¹ = R^-¹ + S^-¹.

(R S)^-¹ = R^-¹ S^-¹.

12) Demostrar mediante un contraejemplo la falsedad de las siguientes afirmaciones:

Si R y S son relaciones antisimétricas, entonces R + S es antisimétrica.

Si R y S son relaciones transitivas, entonces R + S es transitiva.

13) Demuestre que si R₁ y R₂ son relaciones simétricas en A, R₁ R₂ y R₁ + R₂ son relaciones simétricas en A.

14)Dados S = {1,2,...,10}y la relación R = {(x,y)/ x + y = 10} sobre S.
¿Qué tipo de relación se cumple en ella?

15) Para las siguientes relaciones, indique si la relación es reflexiva, simétrica o transitiva.

a) Sean x e y enteros, y sea x R y sí y sólo sí x divide a y.

b) Sean x e y seres humanos, y sea x R y sí y sólo sí x e y pertenecen a la misma familia.

c) Sean x e y niños, y sea x R y sí y sólo sí x es hermano de y o si x = y.