Esperamos
que le sea de utilidad a la hora de hacer los ejercicios de práctico.
De
todos modos, se les recomiendo hacer las matrices y diagramas adecuados
a los fines de estudiar bien las diversas propiedades que se les piden
hallar.
1.
Relaciones.
De
ahora en adelante trabajaremos con el conjunto A = {1, 2, 3}.
Ej.
: Una relación Â1ÍAxAes
reflexiva si y solo si Â1Ê
{(1,1), (2,2), (3,3)}. En
consecuencia
la relación {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2)} es una relación
reflexiva sobre A,
mientras
que {(1,1), (2,2)} no lo es.
Ej.
: la relación Â=
{(1,2), (1,3), (2,1)} es irreflexiva por que faltan todos los elementos
{(1,1),
(2,2), (3,3)}.
CUIDADO:
No pensar que “no reflexiva” es sinónimo de irreflexiva:
Ej.
: la relación Â
= {(1,1), (2,2), (1,3)} no es ni reflexiva ni irreflexiva.
ØRELACION
SIMETRICA
Una
relación Â
sobre un conjunto A es simétrica si cada vez que aparece
(a, b) en la relación tiene que aparecer (b, a)
Ej.
: las relaciones Â1
y Â2 definidas
como Â1
= {(1,1), (2,2), (3,3)} y Â2
= {(1,1), (2,2),
(3,3),
(2,3), (3,2)} son dos relaciones sobre A que son simétricas (además
de ser
reflexivas).
La
relación Â3
= {(1,1), (2,3), (3,3)} es una relación sobre A que no es simétrica
(y
tampoco
reflexiva).
1
/ 3
Ej.:
{(1,1), (2,2)} no es asimétrica; {(1,3), (1,2)} es asimétrica.
En
los diagramas cuando hay “loops” la relación no es asimétrica.
para
todos a, bÎ
A tales que (a, b) ÎÂy
(b, a) ÎÂÞ
a = b
Ej.
: el mejor ejemplo es considerar el conjunto de las partes de A, Ã(A)
con la relación
definida
por xÂ
y sii x Íy
(ejercicio).
CUIDADO:
no piensen que “no simétrico” es sinónimo de antisimetrico
Ej. : La relación  sobre A dada por {(1,2), (2,1), (2,3)} no es simétrica pues (3,2) ÏÂ
ytampoco es antisimetrica, ya que (1,2) y (2,1) pertenecen a  pero 1¹ 2.
La
relación {(1,1) (2,2)} es a la vez simétrica y antisimetrica.
(a,
b), (b, c) ÎÂ
entonces (a, c) pertenece a Â.
(Así, si a “esta relacionado con” b, y b “esta
relacionado con” c queremos que a “esté relacionado
con” c, donde b juega el papel de “intermediario”.
Ej.:
Si ahora considero el conjunto A ={1, 2, 3, 4} la relación {(1,1),
(2,3), (3,4), (2,4)} es una
relación
transitiva sobre A, mientras que la relación {(1,3), (3,2)} no es
transitiva, ya que
(1,3),
(3,2) ÎÂ
pero (1, 2) ÏÂ.
¨ Nota:
la relación definida sobre A = {1, 2, 3}por {(1,1), (2,2),(3,3)}
es a la vez reflexiva, simétrica, antisimetrica y transitiva. ¿Curioso,
no? En
realidad es la relación identidad, verán que si hacen la
matriz que vieron en teórico, cumple todas las propiedades que se
requieren para probarlo. 2
/ 3 Ej.:
ver practico 4 ejercicios 10 a 13. Ej.:
ver practico 4. 2.
Funciones ØDEFINICIÓN Una
funciónf de A en B ( es decir
con dominio A y codominio B) es una relación de AxBtal
que:i- el dominio def
es A; ii- Â[a]=
1 para todo aÎ
A. ØFUNCION
INYECTIVA f
es inyectiva sii para todo a y b pertenecientes a
A se tiene que f(a) = f(b)Þa
= b. En otras
palabras, siempre tiene que ocurrir que a imágenes iguales les corresponda
preimagenes iguales.
Ej.:
se puede verificar fácilmente que la función x2 definida
de R en R no es inyectiva, pero
que si lo son todas las funciones del tipo f(x) = ax + b (con a ¹
0) definida de
R en R. (Ejercicio:
¿es cierto para los demás dominios usuales?) ØFUNCION
SOBREYECTIVA f
es sobreyectiva si para todo b perteneciente a B existe por
lo menos un a perteneciente a A tal que f(a) = b. En
otras palabras todos los elementos del codominio están alcanzados. Ej.:
f: Z®
Z definida por f(x) = x – 3 es sobreyectiva, pero
ojo que la función g definida (siempre
de Z en Z) por g(x) = 2x – 3 no es sobreyectiva
(probarlo). 3
/ 3
Ø RELACION
DE EQUIVALENCIA
Ø RELACION
DE ORDEN PARCIAL