Números primos entre sí

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En matemáticas, dos números enteros a y b son números primos entre sí (o coprimos, o primos relativos), si, por definición, no tienen ningún factor primo en común, o, dicho de otra manera, si no tienen otro divisor común más que 1 y -1. Equivalentemente son primos entre sí, si y sólo si, su máximo común divisor es igual a 1.

Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3. El 1 es primo respecto de todos los enteros, mientras que 0 sólo lo es respecto de 1 y -1.

Un medio rápido para determinar si dos números enteros son primos entre sí es el algoritmo de Euclides.

Propiedades [editar]

Identidad de Bézout [editar]

Los números enteros a y b son primos entre sí cuando existen dos enteros x e y tales que a·x + b·y = 1.

De forma equivalente, b tiene un inverso para el producto módulo a: existe un número entero y tal que b·y ≡ 1 (mod a).

Teorema de Gauss [editar]

Si a y b son primos entre sí y a divide a un producto bc, entonces a divide a c.

Si a y b son primos entre sí y bx ≡ by (mod a), entonces x ≡ y (mod a). Dicho de otra manera, b es simplificable en el anillo Z_a de los enteros módulo a.

Los dos números enteros a y b son primos entre sí, si y sólo si, el punto de coordenadas (a, b) en un sistema cartesiano de coordenadas es "visible" desde el origen (0,0) en el sentido en que no hay ningún punto de coordenadas enteras situado entre el origen y (a,b).

La probabilidad de que dos números enteros elegidos al azar sean primos entre sí es igual a 6/π².

Dos números naturales a y b son primos entre sí, si y sólo si, los números 2^a-1 y 2^b-1 son primos entre sí...

Generalización [editar]

Dos ideales I y J en un anillo conmutativo A son primos entre sí si I + J = A. Esto generaliza la identidad de Bezout. Si I y J son primos entre sí, entonces IJ = I∩J; además, si K es un tercer ideal tal que I contiene a JK, entonces I contiene a K.

Con esta definición, dos ideales principales (a) y (b) en el anillo de los números enteros son primos entre sí, si y sólo si, a y b son primos entre sí.