COMBINATORIA

La "Teoría Combinatoria" resuelve problemas que aparecen al estudiar y cuantificar las diferentes agrupaciones (ordenaciones, colecciones,...) que podemos formar con los elementos de un conjunto.

Entre las diferentes configuraciones o agrupaciones que podemos formar con los elementos de un conjunto, las más importantes son :

Agrupaciones	Tipo	¿Importa orden?	¿Pueden repetirse?	Elementos por grupo	Elementos disponibles	En cada agrupación...	FÓRMULA
VARIACIONES	sin repetición	SI	NO	n	m	n < m
	con repetición		SI			n < m, n > m
PERMUTACIONES	sin repetición	SI	NO			n = m
	con repetición		SI
COMBINACIONES	sin repetición	NO	NO
	con repetición		SI

REGLA DE MULTIPLICAR

Si el objeto A₁ puede ser elegido mediante k₁ procedimientos, luego para cada una de éstas elecciones del objeto A₁ otro objeto A₂ puede ser elegido por k₂ métodos, después cada una de estas elecciones, tanto del A₁ como del A₂, el tercer objeto A₃ puede ser elegido por k₃ procedimientos, etc... incluyendo el m-ésimo objeto A_m, el cual puede ser elegido mediante k_m métodos, entonces el objeto que figura en la elección de todos los m objetos junto, es decir, el objeto "A₁ y A₂ y A₃ y ... y A_m" puede ser elegido por   k₁·k₂·k₃·...·k_m    métodos.

• Ejemplo (Variaciones SIN repetición) :

¿Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?

Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse.
Por tanto, se pueden formar 504 números :     

• Ejemplo (Variaciones CON repetición) :

¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?

Al  tratarse de números el orden importa y además no dice nada sobre "cifras distintas" luego si pueden repetirse.
Por tanto, se pueden formar 729 números :  

¿Cuantas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b?

Al tratarse de palabras el orden importa y además como son palabras de 10 letras y sólo tenemos dos para formarlas, deben repetirse.
Por tanto, se pueden formar 1024 palabras :  

• Ejemplo (Permutaciones SIN repetición) :

Con las letras de la palabra DISCO ¿cuantas palabras distintas se pueden formar?

Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y además n = m, es decir tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos D, I, S, C, O que no están repetidos.
Por tanto, se pueden formar 120 palabras :  

• Ejemplo (Permutaciones CON repetición) :

¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules?

El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = m, es decir colocamos 9 bolas en linea y tenemos 9 bolas para colocar.
Por tanto, tenemos 1260 modos de colocarlas :  

• Ejemplo (Combinaciones SIN repetición) :

Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)

No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en un grupo evidentemente, luego sin repetición.
Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos :  

• Ejemplo (Combinaciones CON repetición) :

En una confiteria hay cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro pasteles)

No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o más pasteles en un grupo, luego con repetición.
Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos :  

• Ejemplo (Regla de Multiplicar) :

¿Cuantos números pares de tres cifras se pueden formar, usando las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, si éstas pueden repetirse?

Al formar un número par de tres cifras  A₁A₂A₃ con ayuda de las cifras dadas, en vez de  A₁ puede tomarse una cifra cualquiera, salvo el 0, es decir 6 posibilidades. En vez de  A₂   pueden tomarse cualquier cifra, es decir 7 posibilidades, y en vez de  A₃   cualquiera de las cifras 0, 2, 4, 6, es decir 4 posibilidades.De este modo, conforme a la "Regla de Multiplicar" existen  6·7·4 = 168 procedimientos.
Así pues, con las cifras dadas pueden formarse 168 números pares de tres cifras.

Pautas para la resolución de problemas

• Si en cada agrupación figuran sólo algunos de los elementos disponibles, importando el orden de colocación de éstos, entonces es un problema de variaciones. (ejemplo 1)
• Si en cada agrupación figuran todos los elementos disponibles, importando su orden de colocación, entonces se trata de un problema de permutaciones. (ejemplo 2)
• Si en cada agrupación figuran sólo algunos de los elementos disponibles, sin importar el orden de colocación de éstos, entonces estamos ante un problema de combinaciones. (ejemplo 3)

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Números combinatorios